Dans le repre de Frenet, lorsquon dit s(t), que représente exactement s ?

Est-ce la distance parcourue jusqu cet instant ? Elle est donc strictement croissante en fonction du temps ? Si le mobile fait un "retour" en arrire sur la mme trajectoire va-t-elle augmenter ou au contraire baisser ?

s(t) est labscisse curviligne, le long de la trajectoire. Lorsque le mobile semble "revenir en arrire", il avance le long du contour orienté. Labscisse curviligne est donc strictement croissante.

Salut,



Le repre de Serret-Frenet ne sutilise quen cinématique ou en géométrie différentielle. Imaginer un rebroussement ou une boucle nest donc pas imaginable. Seule une discontinuité pourrait poser problme, pour une raison triviale : ce repre ny serait plus défini.
La variable s est une longueur darc.



@+ :)

s(t) est labscisse curviligne ; elle correspond la distance algébrique parcourue par un point qui se déplace sur une courbe entre un instant t0 (pris comme origine du déplacement) et t.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Abscisse_curviligne#Abscisse_curviligne

Avec lintégrale qui la définit, tu peux montrer facilement que pour une vitesse non nulle :
- si t > t0 alors s(t) > 0,
- si t < t0 alors s(t) < 0.

Dans la pratique, t0 est choisi de faon toujours avoir t > t0 dans le domaine étudié, mais a na rien dobligatoire.


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Il est compltement inexact de penser que la définition du repre de Frenet conditionne la définition de labscisse curviligne : cest mme linverse qui se passe.

La seule condition sur la définition de labscisse curviligne porte sur la continuité de la norme du vecteur vitesse (ou plutt, sur la définition de lintégrale qui permet de calculer s(t) ).
Ensuite, seulement, il y a des conditions supplémentaires pour la définition dun repre de Frenet.


Pour une boucle, il ny a aucun problme (quest-ce qui interdit de voir un objet passer 2 fois au mme endroit 2 instants différents ?)

Exemple dune boucle : Un point M qui évolue sur un cercle de rayon 1 avec un vitesse angulaire a > 0
OM = ( cos(a*t) ; sin(a*t) )

dOM/dt = ( -a*sin(a*t) ; a*cos(a*t) )

dOM/dt = ( -a*sin(a*t) ) + ( a*cos(a*t) ) = a * (cos(a*t)+sin(a*t)) = a
dOM/dt = a

s(t) = a*(t-t0)

A partir de s(t), tu peux retrouver la position de M : OM = ( cos(s(t)) ; sin(s(t)) ).


Pour un point de rebroussement, il est toujours possible de sen sortir mais a demande quelques précautions.


Sil ne sagit que dun changement de direction avec conservation de la norme du vecteur vitesse (ce qui est généralement le cas avec un systme mécanique classique, par exemple), le vecteur vitesse nest effectivement pas défini au point de rebroussement.

Par contre, il est tout a fait possible détendre la norme du vecteur vitesse par continuité (cest du niveau terminal, il me semble) et donc de calculer lintégrale qui définit labscisse curviligne (on a d tenseigner que toute fonction continue est intégrable).


Exemple : Un boule de billard qui rebondit sur une bande.
Elle a une vitesse constante V_av = (Vx ; Vy) avant le rebond puis, au moment t1 du rebond sur une bande, lune des composantes de la vitesse est opposée : V_ap = (Vx ; -Vy) (la bande est ici suivant laxe des x).

Pour t < t1
OM = ( Vx*t ; Vy*t)
dOM/dt = ( Vx ; Vy )
dOM/dt = (Vx + Vy)

Pour t >= t1
OM = ( Vx*t1 + Vx*(t-t1) ; Vy*t1 - Vy*(t-t1)) = ( Vx*t ; Vy*2*t1 - Vy*t)
dOM/dt = ( Vx ; -Vy )
dOM/dt = (Vx + (-Vy)) = (Vx + Vy)

dOM/dt nest pas défini en t1 mais il suffit de prolonger dOM/dt par continuité en posant dOM/dt = (Vx + Vy) en t1 pour pouvoir calculer s(t) :
s(t) = (Vx + Vy)*(t-t0)



Dans le cas o la norme de la vitesse nest pas continue sur un point, il existe toujours une solution : lintégration de fonctions continues par morceaux (bac+1 ou +2, je crois) :
http://math.unice.fr/~lmichel/docu_enseign/analyse1/analyse1_chap4.pdf


Dans le cas o la fonction nest pas continue par morceaux, tu es effectivement coincé (mais dans ce cas, ce nest pas un simple point de rebroussement).