quation exponentielle/logorithmique : Comment résoudre ?

Bonjour,
En fait, voil le problme. Dans mon cahier de mathématiques, il y a un numéro qui nest pas faire en devoir, mais qui ma intéressé un point tel o jai passé prs dune heure et demie le comprendre, en vain. Cest une petite équation quil faut résoudre (trouver x) et qui va comment suit :

x^(log[3,x]) = 9x

(Ne sachant pas comment écrire le log ici, jai décidé de lécrire de cette faon : log[base, x]. Cest donc dire log en base 3 de x.)

Donc, comment résoudre cette équation ?

Bonsoir,

Notons que log[3,x]) = ln x / ln 3 ( o ln est le logarithme népérien ),
Il suffit de réécrire ta puissance sous forme exponentielle, x étant bien entendu strictement positif, cela donne exp( ln x * log[3,x]) =9x,

On compose de part et dautre de légalité par ln pour obtenir :
ln x *log[3,x] =ln (9x)=2ln 3 + ln x ce qui donne ( ln x ) / ln 3 =2ln 3 + ln x ou encore :
( ln x )- ln 3 * ln x -2 (ln 3)=0

On est donc en présence dune simple équation du second degré en ln x ,dont on calcule le discriminant: delta= 9 (ln 3) .

Les solutions possibles sont donc : ln x = 2ln3 ou ln x =-ln3 ce qui donne x= exp(2ln3)=9 ou x= 1/3

Réciproquement 9 et 1/3 sont bien solutions de léquation.

Voili voilou

Je noterai log le logarithme de base 3.
En passant légalité au log de base 3,on obtient:
log(x)=log(9)+log(x) (log(a^b)=b.log(a) et log(ab)=log(a)+log(b))
=2+log(x) (log(9)=log(3)=2)
On se ramne donc une équation du second degré en log(x)=y

y-y-2=0

delta=9
y1=(1-3)/2=-1 et y2=(1+3)/2=2

Donc log(x)=-1 ou log(x)=2
Donc x=3^-1=1/3 ou x=3^2=9.

Les deux solutions sont donc 1/3 et 9.
log étant bijective,ce sont les seules solutions.

Salut,

Avant de commencer :
Le log 3 :
log[3,x] = ln(x) / ln(3). Cette formule te permet de passer dun log base 3 un log base e (i.e. le logarithme népérien).

a marche pour tout autre logarithme.
Par exemple, pour passer en base 10 : log[3,x] = log[10,x] / log[10,3].

La fonction log[3,x] cest la fonction réciproque de 3^x :
log[3,3^x] = x*log[3,3] = x*1 = x


La fonction puissance réelle :
x^y o y est un nombre réel nest définie que pour les x > 0
x^y = e^( y*ln(x) ) est un définition usuelle de la puissance réelle.

Mais tu peux utiliser une autre base que e, 3 par exemple :
x^y = 3^( y*log[3,x] )



Pour revenir ton équation : y = log[3,x] et il faut que x > 0
x^(log[3,x]) = 3^( log[3,x]*log[3,x] ) = 3^( log[3,x] ) = 9x

Tu appliques le log 3 des deux cté (cest une fonction bijective de R*+ dans R)
log[ 3, 3^( log[3,x] ) ] = log[3, 9x]
log[3,x] = log[3,9] + log[3,x]

9 = 3, donc log[3,9] = log[3,3^2] = 2, ce qui donne :
log[3,x] = 2 + log[3,x]


Léquation "x^(log[3,x]) = 9x" est équivalente "log[3,x] = 2 + log[3,x]" avec x > 0

Tu peux faire un changement de variable : X = log[3,x], léquation devient :
X = 2 + X

Deux solutions : X = -1 ou X = 2, équivalentes log[3,x] = -1 ou log[3,x] = 2, ce qui donne finalement :
x = 3^-1 = 1/3 ou x = 3^2 = 9.

Les solutions de léquation sont 1/3 ; 9 .