Soit f dérivable sur [a,b]. Est-il vrai quon a alors:

intégrale( f(x) dx , a, b) = f(b) - f(a).

Il sagit de lintégrale au sens de Riemann.
@ hargho: ce nest pas la définition.
LIntégrale de Riemann est définie partir de fonctions en escaliers.
voir ici: http://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%A9grale_de_Riemann

Ca ressemble un peu la définition, non ?

Oui, cest bien cela.

La preuve:
(i) selon la définition de lintégrale de Riemann:
intégrale( f(x) dx , a, b)
=limite(N ,
somme(f(x[i]+0.5*h)*h,i=0..N-1)
)
avec x[i]=a+i*h et h=(b-a)/N

(ii) définition de la dérivée:
f(x[i]+0.5*h)=(f(x[i]+h)-f(x[i]))/h
=(f(x[i+1])-f(x[i]))/h pour h 0

(ii) dans (i)
intégrale( f(x) dx , a, b)
=limite(N ,
somme(f(x[i+1])-f(x[i]),i=0..N-1)
)

on voit que dans la somme tous les termes se compensent sauf le premier et le dernier:
somme(f(x[i+1])-f(x[i]),i=0..N-1)
=f(x[N])-f(x[0])=f(b)-f(a) (quel que soit N)

donc finalement: intégrale( f(x) dx , a, b) = f(b) - f(a)

Rem: Jean Dupanbo a raison: f(x) doit tre intégrable. En revanche, si tel nest pas le cas, p.e. si f(x) possde un ple en [a,b], le raisonnement ci-dessus donne la "valeur principale de Cauchy" de lintégrale en question. Pour bien expliquer cela il faudrait avoir des notions danalyse complexe.

Je ne suis pas daccord avec les réponses précédentes: la dérivée f nest pas nécessairement intégrable sur [a,b].

Pour les intégrales de Riemann, le théorme fondamental de calcul est:
Si f admet une primitive F sur [a,b] ET SI f EST INTEGRABLE sur [a,b], alors int( f(x) dx, a, b) = F(b)-F(a)
Lhypothse f intégrable sur [a,b] est indispensable.

hargho a raison, cest lapplication directe de la définition de lintégrale au sens de Riemann, et humhum ta fourni la démo o les marches descalier se télescopent.