démontrer que sin(arc cos(a))=racine(1-a*a) et cos(2 arc tan(b))=(1-(b*b))/1+b*b?

On peut aussi vérifier que les dérivées sont égales ET que les fonctions ( les primitives des dérivées) sont égales pour une mme valeur, simple . ( 0 ou 1)

Tu as sin^2(Arccos(a)) = 1 - cos^2(Arccos(a)) = 1-a^2
On en déduit que sin(Arccos(a)) = racine(1-a^2)
Or x -> Arccos(x) est valeurs dans [0, pi] et le sinus est positif sur ce segment, donc on a bien sin(Arccos(a)) = racine(1-a^2)

cos(2Arctan(b)) = cos^2(Arctan(b)) - sin^2(Arctan(b))

On remarque que cos^2(Arctan(b)) est non-nul quelque soit b, en effet Arctan(b) appartient ]-pi/2, pi/2[.
cos(2Arctan(b)) = cos^2(Arctan(b))(1-tan^2(Arctan(b)) = cos^2(Arctan(b))(1-b^2)

On remarque aussi que tan(t) = 1/cos^2(t) = 1+tan^2(t) si t nest pas congru pi/2 modulo pi. Donc cos^2(Arctan(b)) = 1/(tan(Arctan(b)) = 1/(1+b^2) car Arctan(b) nest jamais congru pi/2 modulo pi.

On a bien cos(2Arctan(b)) = (1-b^2)/(1+b^2)

Salut,
Ce que tu dois apprendre cest comment faire pour retrouver cette formule a chaque fois que tu en as besoin.

Pour cela, il faut que tu te demandes quest-ce que arccos, arcsin, et arctan ??
Cest les fonctions réciproques de cos, sin et tan !! Cest a la clé.

Tu as donc cos (arccos (x) ) = x ou arccos(cos(x)) = x et arctan(tan(x)) = x, ...etc
Il te suffit alors de dériver par rapport x pour avoir la solution.
Tu dois surement savoir que d/dx (f(g(x))) = g(x) * f(g(x)) ou = d/dx
Applique cela aux deux équations ci-dessus avec quelques simplifications (du genre sin2+cos2 = 1) et changement de variable (écrit a = cos(x) pour la premire par exemple)
Voila, quelques indications qui devraient te mettre sur la voie et te permettre de pouvoir le retrouver a chaque fois!

a+