Salut,
Avant de commencer :
Le log 3 :
log[3,x] = ln(x) / ln(3). Cette formule te permet de passer dun log base 3 un log base e (i.e. le logarithme népérien).
a marche pour tout autre logarithme.
Par exemple, pour passer en base 10 : log[3,x] = log[10,x] / log[10,3].
La fonction log[3,x] cest la fonction réciproque de 3^x :
log[3,3^x] = x*log[3,3] = x*1 = x
La fonction puissance réelle :
x^y o y est un nombre réel nest définie que pour les x > 0
x^y = e^( y*ln(x) ) est un définition usuelle de la puissance réelle.
Mais tu peux utiliser une autre base que e, 3 par exemple :
x^y = 3^( y*log[3,x] )
Pour revenir ton équation : y = log[3,x] et il faut que x > 0
x^(log[3,x]) = 3^( log[3,x]*log[3,x] ) = 3^( log[3,x] ) = 9x
Tu appliques le log 3 des deux cté (cest une fonction bijective de R*+ dans R)
log[ 3, 3^( log[3,x] ) ] = log[3, 9x]
log[3,x] = log[3,9] + log[3,x]
9 = 3, donc log[3,9] = log[3,3^2] = 2, ce qui donne :
log[3,x] = 2 + log[3,x]
Léquation "x^(log[3,x]) = 9x" est équivalente "log[3,x] = 2 + log[3,x]" avec x > 0
Tu peux faire un changement de variable : X = log[3,x], léquation devient :
X = 2 + X
Deux solutions : X = -1 ou X = 2, équivalentes log[3,x] = -1 ou log[3,x] = 2, ce qui donne finalement :
x = 3^-1 = 1/3 ou x = 3^2 = 9.
Les solutions de léquation sont 1/3 ; 9 .
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