1+2+3+4+...+100

1+2+3+4+8+...+512

3+15+27+...339

2-6+18-54+...-28697814

Si vous pouvez expliquez votre resultat, japprécierais énormement.. merci davance !

Bonsoir,

(I) 1+2+3+4+...+100= 100*101/2 = 5050, facile retrouver dans le ca général :

on pose S= 1+2+3+4+...+n, on a aussi S= n+(n-1)+...+2+1, donc 2S=(1+n)+(2+n-1)+...+(n-1+2)+(n+1)
(je somme les deux écritures de la somme S) ce qui donne 2S=n+1 + n+1 +... + n+1 et cela n fois vu que la somme comporte n termes, donc 2S=(n+1)n et par suite S= (n+1)n/2


(II) je pense que vous avez voulu écrire 1+2+4+8+...+512 ( et non pas 1+2+3+4+8+...+512)
qui est la somme des 10 premires puissances de 2 ( de 0 9 )
en effet 1+2+4+8+...+512=2^0+2^1+2^2+2^3+...+2^9 , cest une somme partielle de série géométrique de raison 2 dont on connait la formule : (2^10-1)/(2-1)= 1024-1=1023, vous pouvez ajouter le 3 de tout lheure si vous le souhaitez et a vous fera 1026 ^^

(III) 3+15+27+...339, l remarquez que tous vos termes sont des multiples de 3 on factorise par 3 :
3+15+27+...339=3*(1+5+9+...+113), l autre observation, chaque fois lon rajoute 4 au nombre précédent 5=1+4, 9=5+4= 1+4+4= 1+2*4, il faudrait ensuite remarquer que 113=1+28*4, on a donc la somme 3+15+27+...339=3*[(1+0*4)+(1+1*4) + (1+2*4) +(1+3*4)+...+(1+28*4)], on somme donc 29 fois 1 ( en comptant la zeroime fois ) et on factorise 4 de ce qui reste soit :
3+15+27+...339=3*( 29+4*(1+2+...+28)) ( rappelez vous la formule du (I) 1+2+...+28=28*29/2=406 ) donc 3+15+27+...339=3*(29+4*406)=3*1653=4959

(IV) 2-6+18-54+...-28697814, on remarque la quil sagit dune somme de puissances de 9 avec le facteur 2-6, on remarque en effet que 18-54 = 9*(2-6) , notons aussi que 28697814=6*9^7, daprs la forme des premiers termes je conclus que le dernier terme est 9565938-28697814=(2-6)*9^7 on récupre donc la somme en factorisant par 2-6: 2-6+18-54+...-28697814=(2-6)*(1+9+...+9^7)
or comme on a déj vu en (II) 1+9+...+9^7=(9^8-1)/(9-1)=5380840 par suite la somme recherchée est 2-6+18-54+...-28697814= -4*5380840 = -21523360

Et voila, récapitulons, pour calculer ceci il a donc fallu connaitre les fameuses formules 1+2+...+n=(n+1)n/2 et 1+x+x+...+x^n = [x^(n+1) -1] / (x-1)

Bon courage !

Pour le premier calcul cest simple !

on a :

1 + 2 + 3 + 4 + ..... + 100

= 1 + 2 + 3 + 4 + ...... + 50
+ 100 + 99 + 98 + 97 + ..... + 51

= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + (4 + 97) + ........... + (50 + 51)

= 101 + 101 + 101 + 101 + ....... + 101

= 101 * 50

= 5050

Pour les autres , il faudrait que tu les réécrives en utilisant la barre "espace" entre les termes pour que lénoncé soit complet et visible pour nous !

Ces calculs de somme utilisent 2 formules :
S(n) = 1+ 2 +...+ n = n(n+1)/2
T(q, n) = 1 + q + q + ....+ q^n = (1-q^(n+1)) / (1 - q) , pour q différent de 1

1+2+3+4+...+100 = S(100) = 100 x 101 / 2 = 5050

1 + 2 + 4 + 8 +...+ 512
= 1 + 2 + 2 +...+ 2^9
= T(2, 9)
= (1-2^10) / (1-2)
= 1023

3 + 15 + 27+...+ 339 = 3(1+ 5 + 9 + ....+ 113)
Cest une généralisation de la formule S(n) :
La somme des termes consécutifs dune suite arithmétique sobtient par la formule :
S = (Moyenne 1er et dernier terme) x (nombre de termes dans la somme)
Donc : 1+ 5 + 9 + ....+ 113 = (1+113)/2 x 29, puisque ces termes forment une suite arithmétique de raison 4 et de 1er terme 1, et 113 est le 29 terme de cette suite.
Donc 1+ 5 + 9 + ....+ 113 = 57 x 29
Donc 3 + 15 + 27 + ...339 = 3 x 57 x 29 = 4959

2 -6 + 18 - 54 +... - 28697814
= 2 (1 - 3 + 9 - 27 + .... - 14348907)
= 2 (1 + (-3)^1 + (-3) + ..... + (-3)^15)
= 2 x T(-3,15)
= 2 x (1- (-3)^16) / (1 - (-3))
= ((1- (-3)^16) / 2
= -21523360