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| Auteur: | vudaqueay [ Dim Sep 04, 2011 12:09 pm ] |
| Sujet du message: | Calcul mathématiques? |
1+2+3+4+...+100 1+2+3+4+8+...+512 3+15+27+...339 2-6+18-54+...-28697814 Si vous pouvez expliquez votre resultat, japprécierais énormement.. merci davance ! |
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| Auteur: | UAgnew [ Dim Oct 02, 2011 12:22 pm ] |
| Sujet du message: | Calcul mathématiques? |
Bonsoir, (I) 1+2+3+4+...+100= 100*101/2 = 5050, facile retrouver dans le ca général : on pose S= 1+2+3+4+...+n, on a aussi S= n+(n-1)+...+2+1, donc 2S=(1+n)+(2+n-1)+...+(n-1+2)+(n+1) (je somme les deux écritures de la somme S) ce qui donne 2S=n+1 + n+1 +... + n+1 et cela n fois vu que la somme comporte n termes, donc 2S=(n+1)n et par suite S= (n+1)n/2 (II) je pense que vous avez voulu écrire 1+2+4+8+...+512 ( et non pas 1+2+3+4+8+...+512) qui est la somme des 10 premires puissances de 2 ( de 0 9 ) en effet 1+2+4+8+...+512=2^0+2^1+2^2+2^3+...+2^9 , cest une somme partielle de série géométrique de raison 2 dont on connait la formule : (2^10-1)/(2-1)= 1024-1=1023, vous pouvez ajouter le 3 de tout lheure si vous le souhaitez et a vous fera 1026 ^^ (III) 3+15+27+...339, l remarquez que tous vos termes sont des multiples de 3 on factorise par 3 : 3+15+27+...339=3*(1+5+9+...+113), l autre observation, chaque fois lon rajoute 4 au nombre précédent 5=1+4, 9=5+4= 1+4+4= 1+2*4, il faudrait ensuite remarquer que 113=1+28*4, on a donc la somme 3+15+27+...339=3*[(1+0*4)+(1+1*4) + (1+2*4) +(1+3*4)+...+(1+28*4)], on somme donc 29 fois 1 ( en comptant la zeroime fois ) et on factorise 4 de ce qui reste soit : 3+15+27+...339=3*( 29+4*(1+2+...+28)) ( rappelez vous la formule du (I) 1+2+...+28=28*29/2=406 ) donc 3+15+27+...339=3*(29+4*406)=3*1653=4959 (IV) 2-6+18-54+...-28697814, on remarque la quil sagit dune somme de puissances de 9 avec le facteur 2-6, on remarque en effet que 18-54 = 9*(2-6) , notons aussi que 28697814=6*9^7, daprs la forme des premiers termes je conclus que le dernier terme est 9565938-28697814=(2-6)*9^7 on récupre donc la somme en factorisant par 2-6: 2-6+18-54+...-28697814=(2-6)*(1+9+...+9^7) or comme on a déj vu en (II) 1+9+...+9^7=(9^8-1)/(9-1)=5380840 par suite la somme recherchée est 2-6+18-54+...-28697814= -4*5380840 = -21523360 Et voila, récapitulons, pour calculer ceci il a donc fallu connaitre les fameuses formules 1+2+...+n=(n+1)n/2 et 1+x+x+...+x^n = [x^(n+1) -1] / (x-1) Bon courage ! |
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| Auteur: | TGuiscard [ Lun Oct 03, 2011 1:24 pm ] |
| Sujet du message: | Calcul mathématiques? |
Pour le premier calcul cest simple ! on a : 1 + 2 + 3 + 4 + ..... + 100 = 1 + 2 + 3 + 4 + ...... + 50 + 100 + 99 + 98 + 97 + ..... + 51 = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + (4 + 97) + ........... + (50 + 51) = 101 + 101 + 101 + 101 + ....... + 101 = 101 * 50 = 5050 Pour les autres , il faudrait que tu les réécrives en utilisant la barre "espace" entre les termes pour que lénoncé soit complet et visible pour nous ! |
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| Auteur: | DBurr [ Sam Oct 15, 2011 2:26 am ] |
| Sujet du message: | Calcul mathématiques? |
Ces calculs de somme utilisent 2 formules : S(n) = 1+ 2 +...+ n = n(n+1)/2 T(q, n) = 1 + q + q + ....+ q^n = (1-q^(n+1)) / (1 - q) , pour q différent de 1 1+2+3+4+...+100 = S(100) = 100 x 101 / 2 = 5050 1 + 2 + 4 + 8 +...+ 512 = 1 + 2 + 2 +...+ 2^9 = T(2, 9) = (1-2^10) / (1-2) = 1023 3 + 15 + 27+...+ 339 = 3(1+ 5 + 9 + ....+ 113) Cest une généralisation de la formule S(n) : La somme des termes consécutifs dune suite arithmétique sobtient par la formule : S = (Moyenne 1er et dernier terme) x (nombre de termes dans la somme) Donc : 1+ 5 + 9 + ....+ 113 = (1+113)/2 x 29, puisque ces termes forment une suite arithmétique de raison 4 et de 1er terme 1, et 113 est le 29 terme de cette suite. Donc 1+ 5 + 9 + ....+ 113 = 57 x 29 Donc 3 + 15 + 27 + ...339 = 3 x 57 x 29 = 4959 2 -6 + 18 - 54 +... - 28697814 = 2 (1 - 3 + 9 - 27 + .... - 14348907) = 2 (1 + (-3)^1 + (-3) + ..... + (-3)^15) = 2 x T(-3,15) = 2 x (1- (-3)^16) / (1 - (-3)) = ((1- (-3)^16) / 2 = -21523360 |
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