jE VOUS PRIE DE démontrer cette x+y+xy0?

Il y a plus simple en remarquant que (x+y/2) = x + xy + y/4 :
x + y + xy = x + xy + y = (x+y/2) + (3/4)*y

Quelque soit x et y dans R :
(x+y/2) 0 et (3/4)*y 0

donc
(x+y/2) + (3/4)*y 0

et donc
x + y + xy 0


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@Claude t : désolé mais je trouve que la solution la plus élégante (simple et rigoureuse) est celle dOrrorin.
Il minore x+y+xy par x+y-2xy qui est le développement dun carré toujours positif ou nul, en 1 ligne, en ne demandant comme connaissance que la définition des valeurs absolues et de savoir factoriser.

x+y = (x-y) + 2 x.y
x+y+xy = (x-y) + 3 x.y
Cela revient chercher (x - y) -3xy et on divise par y :
(A - 1) -3A [A = x/y]
A - 2A + 1 -3A
A + A + 1 0
ce qui est vérifié en dehors de lintervalle des racines qui nexistent pas dans , puisque le discriminant vaut 1 - 4 <1.

La proposition est donc vérifiée dans tout .

Vous savez quun carré, cest toujours positif ou nul.

Vous pouvez donc écrire que : (x + y) 0


(x + y) 0

x + y + 2xy 0

x + y + 2xy - xy 0 - xy

x + y + xy - xy



Si x et y sont de mme signe, ou si lun des deux est nul, vous avez :

x 0

y 0

(x + y) 0 Cela sera toujours vrai

xy 0

(x + y) + (xy) 0 Cela sera toujours vérifié



Si x et y sont de signe opposé, ou si lun des deux est nul, vous avez :

x 0

y 0

(x + y) 0 Cela sera toujours vrai

xy 0

Il se peut alors que : (x + y) + (xy) 0

= x + yx + y

Polynme de la forme : ax + bx + c, avec dans votre cas :
a = 1
b = y
c = y

= b - 4ac (discriminant)

= y - 4(1 * y) = y - 4y = - 3y < 0 Pas de racine dans R

. et vous savez quun polynme : ax + bx + c possde le mme signe que "a" lextérieur des racines, qui ici nexistent pas.

Le polynme sera de mme signe que le coefficient de x, cest--dire "1", cest--dire positif.
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euh ... cest nous de le faire , ou toi ?

x + y + xy = (x+y) -xy Si cela doit tre >= 0 alors :

(x+y) >= x.y

cest = 0, si x=y=0, sinon linégalité reste toujours vraie !

si x=y alors 4x >= 2x

Mais il existe toujours k appt R*, tel que y= k.x et donc :

k(x+1) >= k.x

k.(x +2x + 1) >= x ( Je divise par k et développe )

(k-1)x + 2x +1 >=0 est toujours vrai mme pour x=0 puisque 1>=0

Bien vu Console

meme si tes explications sont un peu confuses cest élégant

on considre le trinme du second degré , de variable x :
T(x)=x^2+yx+y^2 , du type ax^+bx+c avec a=1 , b=y et c=y^2
discriminant : D=y^2-4.1.y^2= -3y^2

si y=0 , T(x)=x^2 toujours >= 0

si y non nul , D toujours <0 , on sait alors (cours ) que T(x) a toujours le signe de a , soit ici a=1>0

Pour tout réel a, a -a -2a.
x+y+xy x+y-2xy = (x-y) 0