Quelle est la méthode suivre pour déterminer la valeur exacte dun cosinus, sinus ou tangente?

Jexplique, jai vu a en exercice avec les nombres complexes, mais cétait assez guidé et je nai pas retenu la démarche.

Donc si je vous donne par exemple cos(3pi/5), comment prouver par une démarche efficace et qui marche souvent je lespre que cest égal -((5^0.5)-1)/4?

Parce que par exemple la calculatrice ne trouve pas pour par exemple cos(23pi/149), (o jai fait exprs de prendre des nombres premiers assez grands pour pas simplifier).
A moins quon ne puisse pas en donner de valeur exacte et que a soit un nombre transcendant?
@loup des alpes : justement il me semble que modulo 2 pi, 23pi/149 ne peut pas sécrire autrement que -275pi/149. Enfin, le plus important a nest pas a, cest surtout son écriture o pi napparat pas que jaimerais déterminer.

La méthode que tu évoques est celles des racines de 1.

Léquation x^n = 1 na quune ou deux solutions dans IR selon la parité de n : 1

Mais en complexe on passe toujours n solutions parce quon peut alors obtenir tous les zéros du polynme z^n - 1= [ z^(n-1) + z^(n-2) + ... + z + 1].(z - 1) = 0

Remarque : le produit par un nombre complexe implique la rotation autour de O, donc z^n est la rotation n-1 fois de z par lui-mme si z] = 1.

Lidée est décrire léquation sous la seconde forme, sans le dernier facteur. Puisquon est dans les complexes, alors sachant que z^n = 1 (soit la rotation par z de z^(n-1)) on a

z^(n-p) = z^p* (conjugué)

Cela permet de simplifier en partie léquation. Tu peux éventuellement utiliser dautres symétries par exemple sil existe q tq z^q = -1.

L, il faut explicitement écrire léquation en fonction de x et y (z = x+iy) puis séparer parties réelle et imaginaire. Tu obtiens deux équations interdépendantes (puisque x+y=1) ; il te "suffit" den résoudre une, cest--dire trouver les zéros dun polynme de degré qui peut tre élevé, ce qui na rien dévident (il nexiste pas de méthode générale et au del de 3, pas de méthode pour ainsi dire).

Exemple simple : n=3

z + z + 1 = 0
z* + z + 1 = 0
soit
2x+1 = 0
0y = 0
x+y = 1
donc
x = -1/2
y = 3/2 (forcément positif par cette méthode)

donc z = -1/2 + 3/2 = j
on retrouve bien la fameuse valeur complexe j égale exp[ i 2/3 ]


Sinon, la méthode des expressions entre fonctions trigo (sin(a+b), sin a.sin b, sin(a/2), etc.) permet de trouver parfois plus efficacement les valeurs dangles plus petits (tu me diras des nouvelles de la résolution directe pour /5 aprs avoir résolu 2/5 alors que tu peux passer par la formule du demi angle !).


Quant cos(23pi/149) o est le problme ? 23pi/149 peut tre calculé sans problme puis son cosinus. ventuellement tu pourrais tre trop prs de 0 pour que la calculatrice ait une bonne précision. Mais pas dans ce cas !

Pour trouver le cosinus par la méthode que je viens dexpliquer avec cette valeur, bon courage car comme il ny a pas de rapport simple avec 2. Au mieux il faudrait trouver un autre angle complétant celui-ci pour obtenir une partie simple et entire de 2 qui soit en mme temps simplement lié 23/149, comme les deux tiers au tiers. Je pense que ce ne sera pas possible ou en passant par des 149me de 180 !


Dans ce cas la méthode a suivre est forcément numérique et via le DL (comme le fait la calculatrice).

Moi, je ne vois que les développements en série. Mais tout dépend de la précision souhaitée.

Bonjour

Il ny a que deux nombres transcendants dans lensemble de réels : le nombre "pi", et le nombre "e", base des logarithmes népériens.

Sur ma calculatrice élémentaire, jais frappé cos(23pi/149) et jai trouvé : 0.999964182.

Cest largement suffisant pour affirmer que la valeur est de +

Les nombres premiers et les sinus, cosinus, nont rien voir entre eux.

Par contre, tu peux toujours diviser un angle par 2 x pi (cest dire 1 tour, pour le ramener dans les 4 premiers quadrans, quil soit positif ou négatif, cet angle.Cela ne changera pas la valeur du sinus ou du cosinus ou de la tangente.

Je te conseille fortement de télécharger gratuitement tant que lon peut encore, le fichier "khi3 calculator", qui te donne une super calculatrice, et la possibilité davoir lécran toutes, je dis bien toutes les courbes mathématiques étudiées en math spé.

Cordialement.

Professeur Yves Dao-Léna

ussone@wanadoo.fr

Bonjour,

Il y a certaines valeurs exactes qui peuvent tre déduites laide du cercle trigonométrique (les sin et cos de pi/3, pi/4, pi/6). Avec a, on peut en trouver quelques autres laide de formules du type cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b).

Par exemple pi/4: sur le cercle trigonométrique on voit bien que sin = cos. Or sin(x)^2+cos(x)^2=1, donc on substitue sin(x) par cos(x) et on obtient 2*cos(x)^2=1, et donc cos(x)=racine(2)/2

Autre exemple: sin(pi/6): sur le cercle trig, si tu traces pi/6 et -pi/6, tu obtiens un triangle équilatéral dont laxe des est une médiatrice. Le sinus est égal la moitié dun cté de ce triangle, soit 1/2. Une fois le sin connu, tu trouves facilement le cos, et de la mme manire on peut calculer le sin et le cos de pi/3