La méthode que tu évoques est celles des racines de 1.
Léquation x^n = 1 na quune ou deux solutions dans IR selon la parité de n : 1
Mais en complexe on passe toujours n solutions parce quon peut alors obtenir tous les zéros du polynme z^n - 1= [ z^(n-1) + z^(n-2) + ... + z + 1].(z - 1) = 0
Remarque : le produit par un nombre complexe implique la rotation autour de O, donc z^n est la rotation n-1 fois de z par lui-mme si z] = 1.
Lidée est décrire léquation sous la seconde forme, sans le dernier facteur. Puisquon est dans les complexes, alors sachant que z^n = 1 (soit la rotation par z de z^(n-1)) on a
z^(n-p) = z^p* (conjugué)
Cela permet de simplifier en partie léquation. Tu peux éventuellement utiliser dautres symétries par exemple sil existe q tq z^q = -1.
L, il faut explicitement écrire léquation en fonction de x et y (z = x+iy) puis séparer parties réelle et imaginaire. Tu obtiens deux équations interdépendantes (puisque x+y=1) ; il te "suffit" den résoudre une, cest--dire trouver les zéros dun polynme de degré qui peut tre élevé, ce qui na rien dévident (il nexiste pas de méthode générale et au del de 3, pas de méthode pour ainsi dire).
Exemple simple : n=3
z + z + 1 = 0
z* + z + 1 = 0
soit
2x+1 = 0
0y = 0
x+y = 1
donc
x = -1/2
y = 3/2 (forcément positif par cette méthode)
donc z = -1/2 + 3/2 = j
on retrouve bien la fameuse valeur complexe j égale exp[ i 2/3 ]
Sinon, la méthode des expressions entre fonctions trigo (sin(a+b), sin a.sin b, sin(a/2), etc.) permet de trouver parfois plus efficacement les valeurs dangles plus petits (tu me diras des nouvelles de la résolution directe pour /5 aprs avoir résolu 2/5 alors que tu peux passer par la formule du demi angle !).
Quant cos(23pi/149) o est le problme ? 23pi/149 peut tre calculé sans problme puis son cosinus. ventuellement tu pourrais tre trop prs de 0 pour que la calculatrice ait une bonne précision. Mais pas dans ce cas !
Pour trouver le cosinus par la méthode que je viens dexpliquer avec cette valeur, bon courage car comme il ny a pas de rapport simple avec 2. Au mieux il faudrait trouver un autre angle complétant celui-ci pour obtenir une partie simple et entire de 2 qui soit en mme temps simplement lié 23/149, comme les deux tiers au tiers. Je pense que ce ne sera pas possible ou en passant par des 149me de 180 !
Dans ce cas la méthode a suivre est forcément numérique et via le DL (comme le fait la calculatrice).
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