On souhaite effectuer une analyse sanguine sur un groupe de n persones, chacune de ces personnes ayant une probabilité p =0,2 dtre malade, chacune de faon indépendante des autres. On peut travailler de 2 manires:
- Méthode 1 : On effectue une analyse sur chacune des personnes.
-Méthode 2 : On préleve un échantillon sanguin de chacune des n personnes et si le test se révéle positif sur le mélange de ces échantillons ( ce qui signifie quau moins lune des personnes est malade) , on effectue une analyse pour chacune des personnes. Si le test sur le mélange des échantillons est négatif, on considére quaucune personne nest malade et on ne procde aucune analyse supplémentaire.
On note Xn le nombre danalyses effectuées dans la 2eme méthode, et Yn = Xn / n

1. Déterminer la loi de X, puis la loi de Yn.
2. On souhaite connaitre la méthode la plus économique en nombre danalyses en fonction du nombre de n personnes.
a) étudier la fonction f : x -> ax + ln x o a est un réel strictement négatif. Montrer quelle admet un maximum positif lorsquon choisit a = ln 0,8 .
b) trouver, avec a=ln 0,8 la plus grande valeur entire de x pour laquelle f(x) > 0.
c) Montrer que f(n) > 0 revient montrer que E(Yn)<1.
d) en déduire, selon le nombre de personnes, la méthode utiliser.

Merci toutes les personnes qui donneront un peu de leurs temps pour maider !