Pourriez-vous me montrer les étapes pour passer de e^(i/2) cos(/2)+i sin(/2) (égalité) ? (Simplement la formation de la partie complexe et de la partie non-complexe) "i" est le nombre imaginaire tel que i=-1

http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_dEuler
> e^ia = cos(a) + i.sin(a)
On pourrait parfaitement partir de a comme définition, pour développer la trigonométrie, et les coniques par extension.

Ce qui en découle en premier est que tout nombre complexe
z = x + i.y
peut également sexprimer sous la forme [polaire]
z = .e^i.
= (x + y)
= Atan(y/x)
Ainsi,
i = e^(i./2)



< je rappelle que léquation z=-1 admet deux racines distinctes >

Tu sais quon définit le cercle trigonométrique dans le plan réel.

On peut définir le cercle trigonométrique dans le plan complexe.

Axe des abscisses: partie réelle, en cosinus.

Axe des ordonnées, partie complexe en i sinus.

Cest trs simple, pour tout angle, une fois que tu connais le développement en série de Mac Laurin de exp, cos et sin.

exp (x) = x^n / n!
En admettant que la série converge pour x imaginaire pure et de faon générale quon puisse écrire ce développement pour un tel nombre, alors

en posant x i.x on a
exp (i.x) = (i.x)^n / n! avec la somme sur n
or (i.x)^n sécrit simplement :
* (-1)^p . x^2p si n=2p
* i(-1)^p . x^(2p+1) si n=2p+1

ce qui permet de séparer la somme en deux somme réelle et imaginaire pure,
exp (i.x) = (-1)^p.x^2p / (2p)! + i. (-1)^p..x^(2p+1) / (2p+1)! avec la somme sur p maintenant
soit
exp (i.x) = cos x + i.sin x

Cest un peu compliqué texpliquer si tu ne connais pas les développement en séries entires.

Pour une fonction f, sous certaines conditions, tu peux montrer que f(x) est égale une somme (généralement) infinie de puissances de x (ce qui donne un polynme de degré infini).
On appelle ces sommes des "séries entires".

Les coefficients de ce polynme peuvent tre déterminés avec le théorme de Taylor (on travaille dans une voisinage de 0 puis on teste un disque de convergence plus grand), par exemple, mais ils existent dautres techniques :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Taylor


Voici des développements en séries entires classiques :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Formulaire_de_d%C3%A9veloppement_en_s%C3%A9rie_enti%C3%A8re

On trouve :
exp(x) = x^n / n!
cos(x) = (-1)^n * x^(2n) / (2n)!
sin(x) = (-1)^n * x^(2n+1) / (2n+1)!


Avec la technique dont je te parlais plus haut, il faut savoir calculer les dérivées successives pour tout n, or on y arrive assez facilement pour ces fonctions si on le fait avec soin car :
exp(x) = exp(x) (par définition)

cos(x) = -sin(x)
cos(x) = -cos(x)

sin(x) = cos(x)
sin(x) = -sin(x)


Tu pars alors de la décomposition en série entire de lexponentielle :
exp(i*x) = (i*x)^n / n!

Tu sépares les parties paires et impaires de la somme :
exp(i*x) = (i*x)^(2n) / (2n)! + (i*x)^(2n+1) / (2n+1)!

et
i^(2n) = (i^2)^n = (-1)^n
i^(2n+1) = i*(-1)^n

donc
exp(i*x) = (-1)^n * x^(2n) / (2n)! + i * (-1)^n * x^(2n+1) / (2n+1)!

Tu reconnais les développements en séries entires de cos(x) et sin(x) :
exp(i*x) = cos(x) + i*sin(x)

Cest une résultat quil faut apprendre ; la formule est simple retenir et a ne sert rien de la redémontrer chaque fois si lon a compris la démonstration (ou pas).

Et finalement tu prends x = /2
exp(i*/2) = cos(/2) + i*sin(/2) = 0 + i * 1 = i

cet une convention décriture liée une resemblance troublante
entre les calculs de complexes sous forme triigo :
z=(1,&) z=(1,&)
(1,o)=1
zz=(1,&+&)
z^n=(1,n&)
z/z=(1,&-&)

et les calculs sur les puissances :
a^0=1
a^&*a^&=a^(&+&)
(a^&)^n=a^(n&)
a^&/a^&=a^(&-&)