Salut
Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB=4 et AC=3
Déterminer lensemble E des points M tels que MA+MB+2MC=66
Merci

1-ire étape
on utilise I milieu de [AB] pour transformer MA+MB
(rappel , au carré longueur , norme ou vecteur , cest pareil )
donc en vecteurs : (MI+IA)+(MI+IB)=
=MI+2.MI.IA+IA+MI+2MI.IB+IB
=2MI+IA+IB +2MI(IA+IB)
=2MI+IA+IB car IA+IB=0
=(en longueurs)2MI+2+2=2MI+8

on en est donc 2MI+8+2MC=66
MI+MC=29

2-ime &tape , on utilise J milieu de [IC]
en vecteurs (MJ+JI)+(MJ+JC)=29
2MJ+2MJ(JI+JC)+JI+JC=29
2MJ+JI+JC=29 car JI+JC=0
en longueurs avec Pythagore dans IAC ,
on trouve facilement que IC=V13=>JI=JC=V13/2
donc on a 2MJ+13/4+13/4=29
2MJ=29-13/2=45/2 ; MJ=45/4; MJ=3V5/2

E= cercle de centre J et de rayon 3V5/2

Cest hyper-simple, si lon utilise le concept de barycentre et les propriétés du produit scalaire.
On notere [AB> le vecteur "AB", "." le produit scalaire.
Soit G le barycentre de A affecté du coefficielt 1, de B affecté du coefficient 1 et de C affecté de coefficient 2.
Alors on a
[GA> + [GB> + 2[GC> = [0>
Ecrivons [MA> = [GA> - [GM>, [MB> = [GB> - [GM>,etc.
Le carré scalaire dun vecteur nest autre que le carré de sa norme (car cos 0 = 1), donc léquation donnée dans le texte sécrit
([GA> - [GM>) + ([GB> - [GM>) + ([GC> -[GM>) = 66
En développant les carrés scalaires, on obtient
GA + GM - 2[GA>.[GM> + GB + GM - 2[GB>.[GM> + 2GC + 2 GM - 2[GC>.[GM> = 66
soit
GA + GB + 2GC - 2([GA> + [GB> + 2[GC>).[GM> + 4GM = 66
La parenthse, comme vue plus haut (définition du barycentre), est nulle.
Il reste
GA + GB + 2GC + 4GM = 66
soit
4 GM = 66 - GA - GB - 2GC
Il faudrait maintenant calculer GA, GB et GC.
Or G est le milieu de [AI], o I est le milieu de CI
Ona
(Pythagore) :
CI = r(3 + 2) = r(13)
Donc
CG = r(13)/2
GA = GC car IAC est la moitié dun rectanble IACA, et les diagonales de ce rectangle sont de mme longueur, do AG = GI = GC = r(13)/2

Soit K le barycentre de C (coefficient 2) et A (coefficient 1)
K se trouve au tiers de [CA] en partant de C.
AK =(2/3)AC = (2/3)*3 = 2
Donc (Pythagore)
KB = r(2 + 4) = r(20)
et GB = (3/4)BK = 3r(20)/4 (théorme du barycentre partiel)

Donc
GM = (1/4)[66 - GA -GB - 2 GC]
= (1/4)[66 - 13/4 - 9*20/16 -26/4]
= (1/4)[66 - 13/4 - 40/4 - 26/4]
= (1/4)(264 - 13 - 40 - 26)/4 = 185/16
soit
GM = r(185)/4 = 3,400...
M parcourt donc un cercle de centre G et de rayon r(185)/4 soit environ 3,4.

Vérifier le détail des calculs, SVP !

A partir de MA+MB+2MC=66, on peut définir les points G et I définis comme :
GB+2GC=0 et -2IA+6IG=0 (vecteurs).

On obtient donc partir de ta premire expression :
4MA+2MA.AB+4MA.AC+AB+2AC=66
Donc en comme AB=16 et 2AC=18,
4MA+MA.(2AB+4AC) = 66-18-16=32.
En utilisant G dans 2AB+4AC, on tombes sur 2AB+4AC= 6AG
Donc cela revient 4MA+6MA.AG=32
Qui peut sécrire :
MA.(4MA+6AG)=32
Or 4MA+6AG = -2MA+6MG
En utilisant I dans -2MA+6MG, on obtient : -2MA+6MG = 4MI
Donc 4MA+6AG =4MI

On obtient donc 4MA.MI=32, cest dire MA.MI=8.

En posant K tel que KI+KA=0 (K, milieu de [IA]) alors
(MK+KA).(MK+KI)=8
<=>MK+MK.(KI+KA)+KA.KI=8
donc MK-KA=8 car KI.KA=-KA
Soit MK =8+KA
Parlons de longueur maintenant. Que vaut KA?
(plus de vecteur ici). KA=1/2*IA Or, on peut voir que AG=1/3(AB+4AC) = 1/352.
Or, I, A et G étant alignés, on a AI+IG=AG et IA=3IG (en norme).

Donc, IA=3/4*AG = 1/452 et donc, KA =1/852

Donc MK = 8+52/64=564/64

Donc lensemble E des points M est un cercle de centre K (défini plus haut) et de rayon (564)/8

Soit ABC un triangle rectangle en A tel que : AB = 4 et AC = 3

Représentons le triangle dans un repre A, I, J

A (0 ; 0) B (4 ; 0) C (0 ; 3) M (x ; y)



Pour la longueur MA :

xMA = x - xA = x - 0 = x

yMA = y - yA = y - 0 = y

MA = xMA + yMA

MA = x + y



Pour la longueur MB :

xMB = x - xB = x - 4

yMB = y - yB = y - 0 = y

MB = xMB + yMB

MB = (x - 4) + y

MB = x - 8x + 16 + y



Pour la longueur MC :

xMC = xM - xC = x - 0 = x

yMC = yM - yC = y - 3

MC = xMC + yMC

MC = x + (y - 3)

MC = x + y - 6y + 9



MA + MB + 2MC = 66

(x + y) + (x - 8x + 16 + y) + 2(x + y - 6y + 9) = 66

x + y + x - 8x + 16 + y + 2x + 2y - 12y + 18 = 66

4x - 8x + 4y - 12y = 32

x - 2x + y - 3y = 8

x - 2x + (1 - 1) + y - 3y + [(3/2) - (3/2)] = 8

[x - 2x + 1] - 1 + [y - 3y + (3/2)] - (3/2) = 8

[x - 2x + 1] + [y - 3y + (3/2)] = 8 + 1 + (3/2)

[x - 1] + [y - (3/2)] = 9 + (3/2)

[x - 1] + [y - (3/2)] = (36/4) + (9/4)

[x - 1] + [y - (3/2)] = 45/4

[x - 1] + [y - (3/2)] = [(45)/2]

[x - 1] + [y - (3/2)] = [(35)/2]


Un cercle a pour équation : (x - xo) + (y - yo) = R

xo : abscisse du centre dans notre cas, ce serait : 1

yo : ordonnée du centre dans notre cas, ce serait : 3/2

R : rayon du cercle dans notre cas, ce serait : (35)/2


Lensemble E correspond au cercle de centre (1 ; 3/2) et de rayon (35)/2