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Ton(ta) prof va froncer des sourcils quand il(elle) verra : KerD = [ ax+b / (a.b) de lR ].
Ker D est un sous-espace vectoriel de E et tu écris Ker D comme un ensemble de réels.
Du coup, cest normal quaprs tu sois perdu...
Tu peux écrire :
en appelant X la fonction de R vers R telle que pour tout réel x, X(x)=x (lidentité sur R)
et en appelant 1 la fonction de R vers R tq pour tout x réel, 1(x)=1 (lapplication unité)
Ker D = VectX, 1 (ensemble des combinaisons linéaires sur R des fonctions X et 1, soit a.X+b.1, pour a et b réels)
Pour parler de somme directe sur E, il faut définir le "vecteur zéro" de E, c--d la fonction 0 de R vers R tq 0(x) = 0 pour tout x réel. Cest bien le zéro de E, car si f est un élément de E, alors cest une fonction définie sur R et pour tout réel x, (f + 0)(x) = f(x) + 0(x) = f(x) + 0 = f(x), donc en effet : f + 0 = f.
La question est alors de savoir si lintersection de Ker D et Im D est réduite 0 avec la fonction 0 définie précédemment.
La réponse est non : X et 1 sont éléments de Ker D, lui-mme inclus dans Im D = E.
(conseil : pour les exercices dalgbre linéaire, il faut marquer clairement la différence entre les vecteurs et les scalaires, ici les fonctions C(infini) et les réels)
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