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Dabord, il est utile de bien connatre et tre capable dutiliser les identités remarquables.
Ainsi, a - b se factorise en (a - b)(a + b)
a^3 - b^3 se factorise en (a - b) (a + ab + b)
a^3 + b^3 se factorise en (a + b)(a - ab + b)
a^4 - b^4 se factorise en (a - b) (a + b) = (a - b)(a + b)(a + b)
a^5 - b^5 se factorise en (a - b)(a^4 + a^3b + ab + ab^3 +b^4), etc.
a + 2ab + b se factorise en (a + b) (c..d. en (a + b)(a + b), évidemment !)
a - 2 ab + b se factorise en (a - b) (idem)
a^3 + 3ab + 3ab + b^3 se factorise en (a + b)^3, etc.
Ensuite, pour factoriser toute expression polynmiale, c..d. de forme
P(x) = a + bx + cx + ..., il suffit de connatre ses racines, cest--dire les valeurs de x qui lannulent.
Si P(r) = 0, alors P(x) se factorise par (x - r).
Exemples
p(x) = x^3 + x - 2 sannule pour x = 1 (en effet, 1 + 1 - 2 = 0)
Donc
p(x) = (x - 1)(x + ax + 2)
Remarque : sous la forme factorisée, on voit pourquoi p(1) = 0 : en effet, (1 - 1)(1 + a + 2) = 0 de faon triviale
Jai pu écrire tout de suite le 1er terme et le dernier terme du second facteur, car en développant ce produit, x*x me redonne x^3, et -1*2 me redonne -2.
Il reste déterminer a :
Si je développe de nouveau (x - 1)(x + ax + 2), son terme de degré 1 est
2x - ax
donc le coefficient de x est 2 - a.
Or p(x) = x^3 + x - 2, et le coefficient de x est donc 1.
Ecrivons
2 - a = 1
soit a = 2 - 1 = 1.
Conclusion, jai factorisé
x^3 + x - 2 = (x - 1)(x + x + 2)
Autre exemple, plus simple :
Factoriser f(x) = 3x + 5x - 8
Il est clair que f(1) = 0 puisque 3 + 5 - 8 = 0
Donc
f(x) = (x - 1)(3x + 8)
Cest automatiquement juste : vérifions en développant :
(x - 1)(3x + 8) = 3x + 8x - 3x - 8
= 3x + 5x - 8.
Factorisation dun trinme dun second degré ax + bx + c (niveau au moins 1re) :
Calculer son discriminant (Delta)
Si ce discriminant est positif, il admet deux racines p et q, donc
ax + bx + c = a(x - p)(x - q)
(en effet, il sannule en x = p et x = q, et son terme en x est bien ax)
Exemple
4x - 3x - 2 :
Delta = 9 + 32 = 41
Racines : p = [3 + r(41)] /8 et q = [3 - r(41)]/8
(jai noté r = racine carrée)
Donc
4x - 3x - 2 = 4 x - [3 + r(41)]/8 x - [3 - r(41)]/8
Dernier exemple, plus simple écrire :
x + x - 6 :
Delta = 1 + 24 = 25
Racines : p = [-1 + r(25)]/2 = (-1 + 5)/2 = 2 et q = [-1 - r(25)]/2 = (-1-5)/2 = -3
Donc
x + x - 6 = (x - 2)(x + 3)
Par contre, si le discriminant est nul, on a une racine double r, et ax + bx + c = a(x - r)
[ le (x - r) remplace le produit (x - p)(x - q) ]
Exemple
4x - 4x + 1 :
Delta = 16 - 16 = 0
Racine : -b/(2a) = 4/(8) = 1/2
Donc
4x - 4x + 1 = 4(x - 1/2)
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