cet quoi les axiomes?

Salut,



Wiktionnaire :
Axiome :
Postulat, principe, considéré comme évident en soi ; proposition générale, reue et établie.
Lemme :
Proposition dont la démonstration est nécessaire pour une autre proposition qui doit la suivre.
Théorme :
Proposition scientifique démontrée, assertion établie comme vraie au travers dun raisonnement logique construit partir daxiomes.
Postulat :
Proposition que le géomtre demande quon lui accorde au commencement dune discussion, bien quelle ne soit ni démontrée ni évidente, parce quil ne voit pas dautre principe auquel il puisse rattacher une vérité ou des vérités quon ne saurait mettre en doute. Autrement dit une proposition premire indémontrable ou indémontrée, et que le mathématicien demande au lecteur daccepter. Le postulat nest pas forcément évident, contrairement laxiome.
Par extension : tout principe dun systme déductif qui nest ni une définition ni une proposition assez évidente pour quil soit impossible de la mettre en doute.


Laxiome est donc un point de départ pour établir une démonstration ou un théorme, qui est supposé évident [trivial diront les mathématiciens].
On parle ainsi des postulats de la mécanique quantique, et non pas des axiomes, car leur trivialité ne va pas de soi.



@+ ;)

cest ce qui met dans laxe.

Toutes les sciences exactes se basent sur lobservation de phénomnes pour établir leurs théories. Toutes ? Non. Une science résiste ce principe, ce sont les mathématiques. Les mathématiques ne se basent sur rien, ou tout au moins, veulent ne se baser sur rien, que sur la raison pure.
Mais partir de rien on ne peut rien déduire.
Donc pour avoir une base de raisonnement, on part dun petit nombre de propriétés quon appelle "axiomes" dont on va déduire toutes les autres. De ce fait, les mathématiques ne prétendent pas avoir la vérité absolue. Elles prétendent seulement que SI les axiomes sont vrais, ALORS les propriétés qui en découlent sont vraies. Quand on dit quon "démontre" une propriété mathématique, on ne prouve pas quelle est vraie dans labsolu, mais bien que si les axiomes quon a choisis sont vrais, alors la propriété est vraie.

Par exemple, la géométrie Euclidienne se base sur 5 axiomes :
1. il existe toujours une droite qui passe par deux points du plan.
2. tout segment peut tre étendu suivant sa direction en une droite (infinie).
3. partir dun segment, il existe un cercle dont le centre est un des points du segment et dont le rayon est la longueur du segment.
4. tous les angles droits sont égaux entre eux.
5. étant donné un point et une droite ne passant pas par ce point, il existe une seule droite passant par ce point et parallle la premire.
Cest partir de ces 5 axiomes (seulement !) quon déduit toute la géométrie du plan. Par exemple, le fait que la somme des angles dun triangle est toujours égale 180° se déduit de ces axiomes.

Je le répte : les axiomes ne sont pas forcément VRAIS. Il sont simplement SUPPOSES vrais. Il est trs possible de construire une AUTRE géométrie partir dAUTRES axiomes. Par exemple en remplaant le cinquime par
"5bis. étant donné un point et une droite ne passant pas par ce point, il nexiste aucune droite passant par ce point et parallle la premire"
on obtient la géométrie Riemannienne.
En géométrie Riemannienne, la somme des angles dun triangle est plus grande que 180°.
Tandis quen remplaant le cinquime par
"5ter. étant donné un point et une droite ne passant pas par ce point, il existe une infinité de droites passant par ce point et parallle la premire"
on obtient la géométrie Lobatchevskienne.
En géométrie Lobatchevskienne, la somme des angles dun triangle est plus petite que 180°.
Les géométries Riemannienne et Lobatchevkienne ont tout autant de sens que la géométrie Euclidienne.

Deux acceptions:

1) "Par deux points passe une droite et une seule."
Cest un axiome en ce sens que cest une vérité évidente et indémontrable.

2) "Il existe un ensemble ne comportant aucun élément."
Cet axiome,appelé axiome de lensemble vide,est un des axiomes fondateurs de la théorie des ensembles.Il ne sagit plus dune vérité évidente,mais dun énoncé que lon tient pour vrai par définition.Ainsi une théorie est fondée sur un groupe daxiomes et de rgles de déduction.
A partir de ceux-ci,on démontre les théormes.